Рациональные числа: заметки с тегом математика

Визуализация первых 500 последовательностей чисел согласно гипотезе Коллатца

Fri, 30 Dec 2022 13:52:53 +0500

Гипотеза Коллатца — одна из нерешённых проблем математики, сформулированная 1 июля 1932 года. Она заключается в том, что при любом натуральном числе (n) мы рано или поздно получим 1, если n будем делить на 2, если оно чётное, или умножать на 3 и прибавлять 1, если оно нечётное. Последовательность с начальным числом 3 будет выглядеть так: 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Подробнее об этой гипотезе в ролике канала Veritasium: оригинал, перевод на русский язык

По вертикали — полученные в ходе операций числа, по горизонтали — количество операций. Для всех первых 500 натуральных чисел было достаточно до 140 операций

28% студентов назвали «7» в ответ на просьбу выбрать случайное число от 0 до 10

Wed, 02 Dec 2020 05:06:45 +0500

Я уже писал о сложностях с рандомом у людей. Вот ещё одно свидетельство того, что мы не сильны в генерации случайных чисел и последовательностей. 8600 студентов попросили выбрать случайное число. Распределение ответов на картинке, и оно наглядно показывает, что в нашем восприятии одни числа выглядят более случайными, чем другие.

Источник

Закон Бенфорда и коронавирус

Sun, 11 Oct 2020 14:38:30 +0500

Есть такой контринтуитивный закон Бенфорда или закон первой цифры см. этот пост. Если очень упрощённо, то в природе существуют такие наборы случайных данных, в которых первая цифра будет единицей примерно в 6 раз чаще, чем девятка.

Интуитивно кажется, что первая цифра в наборе случайных данных должна быть любой от 0 до 9 с равной вероятностью. Но это не так. И этот закон применяют, например, для выявления мошенничества с финансами.

Так вот, пользователь Реддита применил этот закон к данным о числе новых случаев заболевания короной в Германии, Великобритании, США и России. По горизонтали — первые значащие цифры, по вертикали — частота их появления.

Судя по диаграмме, подтасовки статистики нет только в Германии. И в России статистика самая неестественная из этих четырёх стран.

Число Грэма на пальцах™

Wed, 23 Sep 2020 00:33:36 +0500

Насколько большими вообще бывают числа? Вот несколько примеров очень-очень больших чисел:

10⁵¹ — атомов в планете Земля

10⁸⁰ — примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной

10⁹⁰ — примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов

10¹⁰⁰ — гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое. Компания, которая поставила себе шуточную цель проиндексировать гугол ссылок в 1998м году взяла себе название Google

10¹²² — столько протонов понадобится, чтобы набить Обозримую Вселенную под завязку, плотненько так, протончик к протончику, впритык

10¹⁸⁵ — столько планковских объёмов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объём (кубик размеров планковской длины 10⁻³⁵ метра) наша наука не знает. Наверняка, как и со Вселенной, там есть что—то ещё более мелкое, но вменяемых формул для подобных мелочей учёные ещё не придумали, одни сплошные спекуляции.

Так вот, мы ещё даже близко не подобрались к по-настоящему большим числам. Таким, как число Грэма, например.

Способны ли люди выдавать действительно случайную последовательность?

Sun, 20 Oct 2019 16:16:29 +0500

Похоже, что нет. Ваши пальцы имеют тенденцию повторять определённые рисунки, даже если вы этого не замечаете. Илья Передерий сделал маленькую игру, демонстрирующую это.

Вам предлагается случайным образом нажимать стрелки вправо и влево. Алгоритм пытается угадать каждое следующее нажатие. Если угадал, он получает виртуальный 1$, если не угадал, то вы получаете 1,05$. Значит, если вы можете действительно рандомно нажимать стрелки, вы будете в плюсе. Но фиг там, программа довольно быстро, всего после 200-300 итераций, научается угадывать большую часть ваших нажатий. Проверьте сами.

Алгоритм работает так. Он ведёт базу данных по каждой возможной комбинации из 5 нажатий, и под каждой записью хранятся два счётчика — один для каждого нуля, который следует за комбинацией, и другой для всех единиц, которые следуют за этой комбинацией. Поэтому каждый раз, когда вы нажимаете клавишу, запись в базе данных обновляется. Для того чтобы сделать прогноз, программе достаточно найти запись, соответствующую последним 5 нажатиям, и решить, посмотрев на счётчики, какое нажатие клавиш будет наиболее вероятным.

Диаграмма ниже показывает распределение правильных ответов. Красным — для случайного алгоритма, зелёным — для реальных людей.

Новое самое большое простое число

Tue, 09 Jan 2018 10:17:49 +0500

Компьютер американского инженера Джонатана Пейса нашел 50-е простое число Мерсенна — 2^77232917-1. Оно содержит 23 249 425 цифр. Это на 910 тысяч знаков длиннее, чем 49-е простое число Мерсенна, и длиннее, чем девять романов «Война и мир» без пробелов.

Источник: NPlus1

Занятная задачка про вероятности

Fri, 16 Jun 2017 10:53:45 +0500

«Если вы случайно выбираете ответ на этот вопрос, каков шанс, что вы будете правы?»